MAnuel en matematica: 2025

Matemáticas 5.º — Prof. José Manuel Minaya Vásquez, M.A.

Matemática 5.º — Currículo MINERD

Recurso didáctico con definiciones, procedimientos, ejemplos resueltos paso a paso, ejercicios verificables, GeoGebra interactivo y trivias (chatbot).

Diseño: moderno · Responsive · Interactivo

Sugerencia: reemplaza las iframes de GeoGebra por tus applets para personalizar actividades.

Unidad 1

Ecuación de la recta

Formas de la ecuación, pendiente, condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Procedimientos y ejemplos paso a paso.

Formas y subtemas

y = m x + b (pendiente-intersección)
y − y₀ = m(x − x₀) (punto-pendiente)
Ax + By + C = 0 (forma general)

Ejemplo resuelto (paso a paso)

Ejemplo: Hallar la recta que pasa por A(−1,3) y B(2,−2).

m = (−2 − 3)/(2 − (−1)) = −5/3.
Usar punto P(−1,3): y − 3 = (−5/3)(x + 1).
Despejar y: y = (−5/3)x + 4/3.
Verificar sustituyendo B(2,−2): (−5/3)(2) + 4/3 = −10/3 + 4/3 = −2 ✓

Ejercicios (mostrar solución)

1) Determina la recta paralela a y = 2x + 1 que pasa por (3,−1).

GeoGebra — Explora

Unidad 2

Cónicas — Circunferencia · Parábola · Elipse · Hipérbola

Análisis de cada cónica con procedimientos, ejemplos resueltos y ejercicios verificables. Usa los GeoGebra para manipular parámetros y observar cambios.

Circunferencia

Definición: Conjunto de puntos a distancia r de un centro (h,k).
Ecuación canónica: (x − h)² + (y − k)² = r².

Procedimiento para hallar centro y radio desde forma general: Completar cuadrados en Ax² + Ay² + Dx + Ey + F = 0 (cuando coeficientes de x² y y² son iguales).

Agrupa términos y completa cuadrados: (x² + Dx/A + ...) + (y² + Ey/A + ...) = ...
Despeja (x − h)² + (y − k)² = r².

Ejemplo resuelto: x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0.

Completar cuadrados: x² −6x + y² +4y = 3 → (x² −6x +9) + (y² +4y +4) = 16.
(x −3)² + (y +2)² = 16 → Centro (3,−2), r = 4.

Ejercicio: Halla centro y radio de x² + y² + 4x − 8y + 7 = 0.

Parábola

Definición: Conjunto de puntos equidistantes de un foco y una directriz.
Forma estándar (vertical): (x − h)² = 4p(y − k). Si p>0 abre hacia arriba.

Procedimiento para construir la ecuación a partir de foco y vértice:

Si vértice V(h,k) y foco F(h,k+p), entonces p = distancia entre vértice y foco.
Escribe (x − h)² = 4p(y − k).

Ejemplo: Vértice (0,0), foco (0,2) → p = 2 → ecuación: x² = 8y.

Ejercicio: Encuentra la ecuación de la parábola con vértice (1,2) y foco (1,5).

Elipse

Definición: Suma de distancias a dos focos es constante.
Forma canónica: (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 (a ≥ b).

Elementos:

Centra en (h,k). a = semieje mayor, b = semieje menor.
Focos: c = √(a² − b²). Excentricidad e = c/a.

Ejemplo: x²/9 + y²/4 = 1 → a=3, b=2, c=√(9−4)=√5, focos (±√5,0), e = √5/3.

Ejercicio: Para (x²/16)+(y²/9)=1, calcula c y la excentricidad e.

Hipérbola

Definición: Diferencia de distancias a los focos es constante.
Forma canónica (horizontal): (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.

Elementos y asíntotas:

Focos: c = √(a² + b²).
Asíntotas (centradas en 0): y = ±(b/a)x (si centro en origen).

Ejemplo: Para hipérbola x²/9 − y²/4 = 1 → a=3, b=2, c = √(9+4)=√13 ≈ 3.6055. Asíntotas: y = ±(2/3) x.

Ejercicio: Determina c y las asíntotas de x²/25 − y²/16 = 1.

Unidad 3

Vectores, Matrices y Sistemas Lineales

Representación, operaciones con vectores, matrices (suma, producto, determinante, inversa) y resolución de sistemas.

Vectores — definiciones y operaciones

Vector en el plano: v = (v₁, v₂). Módulo: ||v|| = √(v₁² + v₂²).
Operaciones: suma componente a componente, resta, multiplicación por escalar, producto punto.

Ejemplo (operaciones): u = (3, −2), v = (−1,4).

u + v = (3 + (−1), −2 + 4) = (2, 2).
u − v = (3 − (−1), −2 − 4) = (4, −6).
2u = (6, −4).
Producto punto: u·v = 3·(−1) + (−2)·4 = −3 − 8 = −11.

Ejercicios vectores

1) Calcula u·v para u=(1,2) y v=(3,4).

Matrices — operaciones, determinantes e inversa

Suma/resta: elemento a elemento (mismas dimensiones).
Producto: fila·columna (número de columnas de A = número de filas de B).
Determinante 2×2: det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc.
Inversa 2×2: A^{-1} = (1/det)·[[d, −b],[−c, a]] si det ≠ 0.

Ejemplo (producto y determinante):
A = [[1,2],[3,4]]; B = [[0,1],[-1,2]].

A·B = [[1·0 + 2·(−1), 1·1 + 2·2],[3·0 + 4·(−1), 3·1 + 4·2]] = [[−2,5],[−4,11]].
det(A) = 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2. Como det ≠ 0, A tiene inversa: A^{-1} = (1/−2)·[[4,−2],[−3,1]] = [[−2,1],[1.5,−0.5]].

Ejercicios matrices

1) Calcula det([[2,3],[1,1]]) y determina si tiene inversa.

Unidad 4

Trigonometría, Funciones Trigonométricas e Introducción a Estadística

Razones trigonométricas, identidades, ley de senos y cosenos, y nociones básicas de estadística y probabilidad.

Ejemplo trigonométrico paso a paso

Triángulo rectángulo con catetos 3 y 4:

Hipotenusa = √(3² + 4²) = 5 → sin θ = 3/5, cos θ = 4/5, tan θ = 3/4.

Identidades importantes

1 + tan²θ = sec²θ
sin²θ + cos²θ = 1
Ley de cosenos: c² = a² + b² − 2ab cos C

Estadística básica (introducción)

Conceptos: población, muestra, media, mediana, moda.
Probabilidad: evento, espacio muestral, probabilidad clásica.

Ejercicio (Trigonometría): Calcula sin 30° y tan 45°.