José Manuel Minaya Vásquez, M.A.
Docente de Matemática — Liceo Cándido González Guzmán · Distrito 11-04
Matemática 5.º — Currículo MINERD
Recurso didáctico con definiciones, procedimientos, ejemplos resueltos paso a paso, ejercicios verificables, GeoGebra interactivo y trivias (chatbot).
Diseño: moderno · Responsive · Interactivo
Sugerencia: reemplaza las iframes de GeoGebra por tus applets para personalizar actividades.
Ecuación de la recta
Formas de la ecuación, pendiente, condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Procedimientos y ejemplos paso a paso.
Formas y subtemas
- y = m x + b (pendiente-intersección)
- y − y₀ = m(x − x₀) (punto-pendiente)
- Ax + By + C = 0 (forma general)
Ejemplo resuelto (paso a paso)
Ejemplo: Hallar la recta que pasa por A(−1,3) y B(2,−2).
- m = (−2 − 3)/(2 − (−1)) = −5/3.
- Usar punto P(−1,3): y − 3 = (−5/3)(x + 1).
- Despejar y: y = (−5/3)x + 4/3.
- Verificar sustituyendo B(2,−2): (−5/3)(2) + 4/3 = −10/3 + 4/3 = −2 ✓
Ejercicios (mostrar solución)
1) Determina la recta paralela a y = 2x + 1 que pasa por (3,−1).
GeoGebra — Explora
Cónicas — Circunferencia · Parábola · Elipse · Hipérbola
Análisis de cada cónica con procedimientos, ejemplos resueltos y ejercicios verificables. Usa los GeoGebra para manipular parámetros y observar cambios.
Circunferencia
Definición: Conjunto de puntos a distancia r de un centro (h,k).
Ecuación canónica: (x − h)² + (y − k)² = r².
Ecuación canónica: (x − h)² + (y − k)² = r².
Procedimiento para hallar centro y radio desde forma general:
Completar cuadrados en Ax² + Ay² + Dx + Ey + F = 0 (cuando coeficientes de x² y y² son iguales).
- Agrupa términos y completa cuadrados: (x² + Dx/A + ...) + (y² + Ey/A + ...) = ...
- Despeja (x − h)² + (y − k)² = r².
Ejemplo resuelto: x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0.
- Completar cuadrados: x² −6x + y² +4y = 3 → (x² −6x +9) + (y² +4y +4) = 16.
- (x −3)² + (y +2)² = 16 → Centro (3,−2), r = 4.
Ejercicio: Halla centro y radio de x² + y² + 4x − 8y + 7 = 0.
Parábola
Definición: Conjunto de puntos equidistantes de un foco y una directriz.
Forma estándar (vertical): (x − h)² = 4p(y − k). Si p>0 abre hacia arriba.
Forma estándar (vertical): (x − h)² = 4p(y − k). Si p>0 abre hacia arriba.
Procedimiento para construir la ecuación a partir de foco y vértice:
- Si vértice V(h,k) y foco F(h,k+p), entonces p = distancia entre vértice y foco.
- Escribe (x − h)² = 4p(y − k).
Ejemplo: Vértice (0,0), foco (0,2) → p = 2 → ecuación: x² = 8y.
Ejercicio: Encuentra la ecuación de la parábola con vértice (1,2) y foco (1,5).
Elipse
Definición: Suma de distancias a dos focos es constante.
Forma canónica: (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 (a ≥ b).
Forma canónica: (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 (a ≥ b).
Elementos:
- Centra en (h,k). a = semieje mayor, b = semieje menor.
- Focos: c = √(a² − b²). Excentricidad e = c/a.
Ejemplo: x²/9 + y²/4 = 1 → a=3, b=2, c=√(9−4)=√5, focos (±√5,0), e = √5/3.
Ejercicio: Para (x²/16)+(y²/9)=1, calcula c y la excentricidad e.
Hipérbola
Definición: Diferencia de distancias a los focos es constante.
Forma canónica (horizontal): (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
Forma canónica (horizontal): (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
Elementos y asíntotas:
- Focos: c = √(a² + b²).
- Asíntotas (centradas en 0): y = ±(b/a)x (si centro en origen).
Ejemplo: Para hipérbola x²/9 − y²/4 = 1 → a=3, b=2, c = √(9+4)=√13 ≈ 3.6055. Asíntotas: y = ±(2/3) x.
Ejercicio: Determina c y las asíntotas de x²/25 − y²/16 = 1.
Vectores, Matrices y Sistemas Lineales
Representación, operaciones con vectores, matrices (suma, producto, determinante, inversa) y resolución de sistemas.
Vectores — definiciones y operaciones
- Vector en el plano: v = (v₁, v₂). Módulo: ||v|| = √(v₁² + v₂²).
- Operaciones: suma componente a componente, resta, multiplicación por escalar, producto punto.
Ejemplo (operaciones): u = (3, −2), v = (−1,4).
u + v = (3 + (−1), −2 + 4) = (2, 2).
u − v = (3 − (−1), −2 − 4) = (4, −6).
2u = (6, −4).
Producto punto: u·v = 3·(−1) + (−2)·4 = −3 − 8 = −11.
u − v = (3 − (−1), −2 − 4) = (4, −6).
2u = (6, −4).
Producto punto: u·v = 3·(−1) + (−2)·4 = −3 − 8 = −11.
Ejercicios vectores
1) Calcula u·v para u=(1,2) y v=(3,4).
Matrices — operaciones, determinantes e inversa
- Suma/resta: elemento a elemento (mismas dimensiones).
- Producto: fila·columna (número de columnas de A = número de filas de B).
- Determinante 2×2: det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc.
- Inversa 2×2: A^{-1} = (1/det)·[[d, −b],[−c, a]] si det ≠ 0.
Ejemplo (producto y determinante):
A = [[1,2],[3,4]]; B = [[0,1],[-1,2]].
A = [[1,2],[3,4]]; B = [[0,1],[-1,2]].
A·B = [[1·0 + 2·(−1), 1·1 + 2·2],[3·0 + 4·(−1), 3·1 + 4·2]] = [[−2,5],[−4,11]].
det(A) = 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2. Como det ≠ 0, A tiene inversa: A^{-1} = (1/−2)·[[4,−2],[−3,1]] = [[−2,1],[1.5,−0.5]].
det(A) = 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2. Como det ≠ 0, A tiene inversa: A^{-1} = (1/−2)·[[4,−2],[−3,1]] = [[−2,1],[1.5,−0.5]].
Ejercicios matrices
1) Calcula det([[2,3],[1,1]]) y determina si tiene inversa.
Trigonometría, Funciones Trigonométricas e Introducción a Estadística
Razones trigonométricas, identidades, ley de senos y cosenos, y nociones básicas de estadística y probabilidad.
Ejemplo trigonométrico paso a paso
Triángulo rectángulo con catetos 3 y 4:
Hipotenusa = √(3² + 4²) = 5 → sin θ = 3/5, cos θ = 4/5, tan θ = 3/4.
Identidades importantes
- 1 + tan²θ = sec²θ
- sin²θ + cos²θ = 1
- Ley de cosenos: c² = a² + b² − 2ab cos C
Estadística básica (introducción)
- Conceptos: población, muestra, media, mediana, moda.
- Probabilidad: evento, espacio muestral, probabilidad clásica.
Ejercicio (Trigonometría): Calcula sin 30° y tan 45°.
Asistente Matemático
Escribe: "Explica pendiente", "Procedimiento determinante" o "Trivia U2"
. Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:
